Homepage von Peter Rachow

Startseite - Home

Mathematikaufgabe 

Themen: Optimierung, Differenzialrechnung (Peter Rachow 2011)

(C) Peter Rachow

Aufgabe: Ein Blech mit einer Fläche vom 1m² soll so in eine Dose umgeformt werden, dass das Volumen der Dose möglichst groß ist.


Lösungsweg. Eine Dose stellt geometrisch betrachtet einen Zylinder dar. Hierfür gelten folgende Formeln:

a) Oberfläche = 2 * Grundfläche + Mantelfläche

(C) Peter Rachow(I)

b) Volumen = Grundfläche * Höhe

(C) Peter Rachow(II)

Zuerst wird Gleichung (I) so umgeformt, dass diese nach h aufgelöst wird.

(C) Peter Rachow

Nun wird Gl. (I) in Gl. (II) eingesetzt, so dass sich das Volumen V als Funktion des Radius R ergibt:

(C) Peter Rachow

Danach wird die erste Ableitung von V gebildet, so dass man den Scheitelpunkt der Volumenfunktion erhält:

(C) Peter Rachow

Diese wird 0 gesetzt, was die entsprechende Koordinate des Scheitelpunktes ergibt. Für diesen Wert von r sei Gl. (II) maximal:

(C) Peter Rachow

Löst man nach r auf, so erhält man den Wert

r = 0,23m

(C) 
Peter Rachow 2011