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Mathematikaufgabe 

Themen: Optimierung, Differenzialrechnung (Peter Rachow 2012)

(C) Peter Rachow

Aufgabe: Ein Modelleisenbahner plant eine kleine Anlage mit einer rechteckigen Grundfläche. Der Umfang darf max. 4,2 m betragen, mehr Holz steht nicht zur Verfügung. Wie sind die Abmessungen von Länge und Breite zu wählen, damit die Fläche der Anlage möglichst groß wird? Stellen Sie bitte eine allgemeingültige Berechnung auf.

Zusatzaufgabe: Der Modellbahner vermutet, dass es sich um eine quadratische Flächen handeln muss. Hat er Recht?



Lösungsweg.
Für den Umfang U und die Fläche A eines Rechtecks gelten folgende Gleichungen:

Peter Rachow - Matheformel 2-1
Es handelt sich um ein Gleichungssystem. Mit ihm können wir die Fläche A als Funktion des Umfangs darstellen. Dazu forme man anschließend die Gleichung für den Umfang entsprechend um und setze ihn in die Gleichung für die Flächenberechnung ein:

Peter Rachow - Matheformel 2-2
Durch weitere Vereinfachung ergibt sich

Peter Rachow - Matheformel 2-3

Um zu ermitteln, für welches x diese Funktion von A ihren Maximalwert erreicht, bilden wir die erste Ableitung A' von A. Ist sie gleich 0 haben wir den Scheitelpunkt der Funktion und damit den Laximalwert gefunden. Für A' gilt:

Peter Rachow - Matheformel 2-4

Setzt man A'=0 erhält man nach Umformen folgendes Ergebnis:

Peter Rachow - Matheformel 2-5
Ergebnis: Wenn die Länge einer der Kanten 1/4 des Umfangs beträgt, so ist die Fläche maximiert. Und wie man sieht handelt es sich dann um ein Quadrat, da nun alle 4 Seiten gleich lang sind (w.z.b.w.).



(C) 
Peter Rachow 2012