Physikaufgabe zur Mechanik

Themen: Gleichförmige Bewegung, Differenzialrechnung (Peter Rachow 2011)

(C) Peter Rachow

Eine Rettungsschwimmerin sitzt auf ihrem Ausguck (A) am Strand, als sie auf dem Wasser einen Schwimmer (S) in einer Notsituation entdeckt. Die Lage stellt sich von oben aus betrachtet gemäß unten stehender Skizze dar:

(C) Peter Rachow

Die Entfernung von A nach E sei 200m, gleiches gilt für die Entfernung SE, Der Dreickswinkel in E sei 90°. Die Entfernung zur Wasserlinie werde vernachlässigt.

a) Wo muss sie ins Wasser springen, um zu dem in Not geratenen Schwimmer zu schwimmen, wenn sie am Strand 3 Mal schneller laufen als sie im Wasser schwimmen kann?

b) Unter welchem Winkel muss sie bei X losschwimmen, um den Schwimmer zu erreichen?



Lösung:

Es handelt sich um eine Optimierungsaufgabe, die wir mit Hilfe der Differentialrechnung leicht lösen können. Zuerst werden die entsprechenden Funktionen aufgestellt. Die gesamte von der Schwimmerin zu bewältigende Strecke setzt sich zusammen aus AX und XS, so dass gilt:

(C) Peter Rachow
Daraus folgt, dass die gesamte Strecke durch das rechte Dreieck XES ausgedrückt nach folgender Gleichung berechnet wird:

(C) Peter Rachow
Dabei behält man im Hinterkopf, dass die Geschwindigkeit für den linken Teil der Gleichung, also dem Ausdruck unter der Wurzel, 1/3 des rechten Ausdrucks beträgt.

Für die Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung gilt:
(C) Peter Rachow
Die gesamte Zeit, die von der Schwimmerin benötigt wird, errechnet sich daher zu
(C) Peter Rachow
Dadurch errechnen wir für tges.:
(C) Peter Rachow
Man erweitert die Brüche auf den Hauptnenner:

(C) Peter Rachow

Nun kennen wir v nicht, der Wert ist für die Betrachtung auch unerheblich, daher setzen wird v=1 und erhalten nunmehr wiederum die gesamte Wegstrecke s als Funktion der Teilwegstrecken mit der Maßgabe, dass die entsprechende Strecke im Wasser 3 Mal so lang ist wie auf dem Land:
(C) Peter Rachow
:Gibt man die Funktion in ein EXCEL-Blatt ein, so erhält man folgende Grafik:

(C) Peter Rachow

Man erkennt, dass es tatsächlich einen Punkt gibt, der das Minimum des Wegeaufwandes definiert. Diesem wollen wir nun mit den Mitteln der Differentialrechung ermitteln. Im Punkt des Minimums hat die Funktionsgerade bekanntermaßen die Steigung 0, daher bilden wir die 1. Ableitung dieser Funktion:

(C) Peter Rachow


Hinweis zur Ableitung einer Wurzel mit mehreren Summanden unter Zuhilfenahme der Kettenregel:
(C) Peter Rachow
Weiterer Hinweis: SE ist eine Konstante und erscheint daher nicht mehr in der abgeleiteten Funktion hinter dem Bruchstrich, wo nur noch 2*XE auftaucht.


Setzt man f'(x) = 0 so ergibt sich die X-Koordinate des Scheitelpunktes der Funktion f(x):

(C) Peter Rachow
(C) Peter Rachow
Jetzt muss noch die Differenz berechnet werden, um die Anfangsstrecke AX zu erhalten, denn wir haben bis jetzt  nur den Weg XE berechnet:

Es folgt somit: AX = 200m - XE = 200m - 70,71m =129,29 m.

b) Für den Winkel gilt:
(C) Peter Rachow

(C) Peter Rachow 2011