Physikaufgabe aus der Mechanik

Themen: Wasserrakete, Beschleunigte Bewegung, Integralrechnung 

(Peter Rachow 2011)

(C) Peter Rachow

Wasserraketen sind ungemein interessante Objekte für den naturwissenschaftlichen Unterricht. Sie sind einfach zu bauen, z. B. aus PET-Flaschen, und ermöglichen es, mit Schülern die Grundlagen des Raketenprinzips zu erarbeiten. Neben der praktischen Seite haben sie jedoch auch eine recht komplexe theoretische Komponente. Die soll hier näher untersucht werden.

Themen:

Berechnung der Beschleunigung a als Funktion der Flugzeit t

Die Berechnung der Schubkraft

Die Berechnung der Endgeschwindigkeit bei "Brennschluss"

Rechenbeispiel


Aufgabe:
Eine Wasserrakete, die aus einer PET-Flasche gebaut wurde, soll gestartet werden. Der Flugkörper soll mathematisch beschrieben, die relevanten Gleichungen aufgestellt und der Flug mathematisch hergeleitet werden.

1. Stellen Sie die Funktion auf, nach der die Rakete den angetriebenen Teil des Fluges durchführt.
Berechnen Sie dabei insbesondere die Beschleunigung als Funktion der Zeit, des Druckes in der Rakete und den Düsenverhältnissen.
2. Ermitteln Sie die Zeit, bis das Wasser vollständig ausgetreten ist.
3. Wie hoch ist maximale Geschwindigkeit, die die Rakete erreicht?

Die Daten dieses Flugkkörpers sind:


Masse leere Flasche 0,05 kg
Volumen der Flasche 1,5 dm³ dickwandige Cola-Mehrweg-PET-Flasche
Dichte der Flüssigkeit 1,00 kg/dm³ (Wasser)
Masse der Flüssigkeit in der Flasche 0,40 kg
Atmosphärendruck 1,0 bar
Anfangsdruck in Flasche vor dem Start 4,0 bar
Dichte des Gases 1,02 g/dm3 (Luft)
Durchmesser der Flaschenöffnung 0,012m

Herleitung der Gleichungen

Die Flugphasen der Wasserrakete

Der Aufstieg des Flugkörpers gliedert sich in 2 Phasen:

a) Die Antriebsphase bis zum vollständigen Austritt der Flüssigkeit ("Brennschluss")
b) Die antriebslose (ballistische) Phase.

Die Beschleunigung

In der Antriebsphase erzeugt die in der Flasche eingeschlossenen Luftmenge den Schub für die Rakete durch ihre Expansionarbeit.

Dabei erleidet die Rakete durch den ausgestoßenen Treibstoff einen kontinuierlichen Massendefekt dm/dt, wodurch bei angenommen annähernd konstanter Schubkraft gemäß dem 2. Newtonschen Axiom F=m*a die Beschleunigung a ständig zunimmt bis alles Wasser ausgestoßen ist.

Die dazugehörige Gleichung ergibt für die Beschleunigung a:

(C) Peter Rachow(I)
(mFlasche=Masse der leeren Flasche, mFlüssigkeit=Masser der Flüssigkeit vor dem Start, t=Gerade abgelaufene Zeit, tmax.=Zeit, bis alles Wasser ausgestoßen ist)

Die Zeit, bis zu der alles Wasser ausgetreten ist, wird anschließend ermittelt. Zuerst muss mit der Bernoulli-Gleichung errechnet werden, mit welcher Geschwingkeit das Wasser aus der Öffnung der Flasche austritt. Hier gilt:

(C) Peter Rachow(II)
(vFl=Geschwindigkeit der austretenden Flüssigkeit, pi=Innendruck, pa=Außendruck, rhoFl=Dichte der Flüssigkeit)

Die Ausstoßzeit tmax. errechnet sich unter Zuhilfenahme der Querschnittsfläche des Düsenaustritts. Es wird angenommen, dass der Wasserstrahl mit der Form eines Zylinders aus der Düse austritt. Die Länge dieses Zylinders wird zuerst berechnet:

Es gilt:
(C) Peter Rachow(III)
(l=Länge des Wasserstrahles, V=in der Flasche gespeichertes Wasservolumen, d=Durchmesser der Flaschenöffnung)

Aus der Austrittsgeschwindigkeit v des Wasserstrahles (Gl. II) und seiner Länge l (Gl. III) errechnen wir die Zeit, bis der Wasserstrahl die Düse vollständig verlassen hat. Es gilt:

(C) Peter Rachow(IV)
(tmax.=Zeit bis zum vollständigen Ausstoß der Wassermenge, v=Ausstoßgeschwindigkeit, l=Länge des Wasserstrahles)

Die Berechnung der Schubkraft

Die Schubkraft F der Rakete bestimmt sich aus dem Druck des Gases über der Flüssigkeit, der Dichte der Flüssigkeit, der Austrittsrate dQ/dt aus dem Triebwerk (also dem Massenstrom pro Zeiteinheit) welcher wiederum durch die Querschnittsfläche der Düse bestimmt wird.

Hierbei gilt:


(C) Peter Rachow    (V)
(F=Schubkraft, p=Druckdifferenz zwischen Innen- und Außendruck, d=Durchmesser der Flaschenöffnung)

Setzt man nun alle erhaltenen Größen in Gl. I ein, erhält man die Beschleunigung der Rakete im Schwerefeld der Erde zu einem gegegeben Zeitpunkt t innerhalb der Zeitspanne bis zum vollständigen Ausstoß der Flüssigkeit.

(C) Peter Rachow(VII)

Somit ergibt sich folgender Funktionsgraph für das t->a-Diagramm für die Beschleunigung der Rakete als Funktion der Zeit:

(C) Peter Rachow

Die Berechnung der Endgeschwindigkeit bei "Brennschluss"

Hinweis: Als "Brennschluss" sei der Zeitpunkt definiert, an dem sämtliche Flüssigkeit aus der Rakete ausgestoßen ist.

Nach dem Start verliert die Rakete durch das Ausstoßen des Treibstoffes kontinuierlich an Masse, sie erleidet einen Massenverlust. Dieser Massenverlust bewirkt einen Impuls der Größe

(C) Peter Rachow    (VIII)
(dp=Impulsänderung, -dm=Massenverlust, vTreibstoff=Ausstoßgeschwindigkeit der Flüssigkeit aus der Düse)

Die Geschwindigkeit der Rakete nimmt ebenfalls zu, da sie nach dem Gesetz von "actio=reactio" einen ebenso großen Impuls in der Gegenrichtung erfährt:

(C) Peter Rachow(IX)
(dv=Geschwindigkeitsänderung, dp=Impulsänderung, momentane Masse der Rakete)

Setzt man Gl VIII in Gl. IX ein, erhält man für die Geschwindigkeitsänderung

(C) Peter Rachow(X)

Integriert man die Gleichung gemäß der Integrationsregel

(C) Peter Rachow(XI)
so ergibt sich:

(C) Peter Rachow(XII)

Rechenbeispiel

Die Rakete habe folgende Daten:

Masse der leeren Flasche: 0,05 kg  
Volumen der Flasche: 1,5 dm³
Dichte der Flüssigkeit: 1,00 kg/dm³
Masse der Flüssigkeit in der Flasche: 0,40 kg
Atmosphärendruck: 1,0 bar  = 105 Pa
Anfangsdruck in Flasche vor dem Start: 4,0 bar = 4*105 Pa
Dichte des Gases: 1,02 g/dm3
Durchmesser der Flaschenöffnung: 0,0012 m

Ausströmgeschwindigkeit:   (C) Peter Rachow

"Länge" des Wasserstrahles:(C) Peter Rachow
Zeit vom Start bis "Brennschluss":(C) Peter Rachow

Geschwindigkeit bei "Brennschluss" (Maximalgeschwindigkeit):(C) Peter Rachow


(C) Peter Rachow 2011