Physikaufgabe zur Mechanik

Themen: Schräger Wurf, Differentialrechnung (Peter Rachow 2011)

(C) Peter Rachow

Aufgabe: 

Ein Gegenstand wird schräg nach oben geworfen. Der Winkel zum Erdboden sei (C) Peter Rachow. Die Abwurfgeschwindigkeit ist v0. Dann gelten für diese Bewegung folgende Gleichungen:

(C) Peter Rachow

Die Bewegung in X-Richtung ist dabei eine gleichförmige, die in Y-Richtung eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. Beide überlagern sich, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen.

Will man die vertikale Position (y) als Funktion der momentanen horizontalen Position (x) ermitteln (x->y), kann man folgende unten genannte Gleichung verwenden. Wie erhält man diese? Die Gleichung für x=vx*t wird dabei zuerst nach t aufgelöst und in die Gleichung für die Vertikalpostion y=v0*sin(x)*t-1/2 gt² eingesetzt:

(C) Peter Rachow

Bildet man diese Formel in EXCEL nach, ergibt sich das Bild der Flugbahn. Es handelt sich um eine nach unten offene Parabel:

(C) Peter Rachow

Die eingezeichnete Gerade ist dabei die Funktion der Geschwindigkeit, die man erhält, wenn man die erste Ableitung der Vertikalposition nach der Zeit t bildet. Es gilt dann:

(C) Peter Rachow

Wie kann man nun zeigen, dass die Wurfenergie genau dann optimal in eine möglichst große Wurfweite umgesetzt wird, wenn der Abwurfwinkel (C) Peter Rachow = 45° ist?

Zuerst einmal muss man sich überlegen, dass die Horizontalbewegung, die Vertikalbewegung und die Wurfrichtung ein Dreieck bilden, wobei die Wurfrichtung als Hypothenuse des Dreiecks die Tangente an den Funktionsgraphen bildet:

(C) Peter Rachow

Die Tangente an den Graphen ist gleichbedeutend mit der 1. Ableitung und die Fläche unter dem Dreieck muss dabei möglichst groß sein. Die Horizontalbewegung ist dann der Cosinus von (C) Peter Rachow, die Vertikalkomponente der Sinus von (C) Peter Rachow.

Trägt man auch diese Funktion als Graph auf, so erkennt man, dass bei (C) Peter Rachow=45° tatsächlich die größte Fläche vorhanden ist.

(C) Peter Rachow

Diese Fläche unter dem Dreieck errechnet sich dann (vereinfacht) zu, denn streng genommen, müsste man schreiben 1/2 A=......
(C) Peter Rachow
Man bildet also wieder die erste Ableitung und muss diesmal die Produktregel anwenden. Diese lautet:

f(x)=g(x)*h(x) -> f'(x)= g'(x)*h(x)+ g(x)*h'(x). So erhält man oben angeführte Funktion A', denn die 1. Ableitung des sin(x) ist cos(x) und die 1. Ableitung des cos(x) ist -sin(x).

Das Maximum der Funktion liegt dann bei f'(x)=0. Die Ableitung A' wird dann zu 0, wenn (C) Peter Rachow=45° ist, was zu zeigen war.


(C) 2011 Peter Rachow