Physikaufgabe zur Mechanik


Unterthemen:  Arbeit, Energie, Reibung, Aufstellung von Funktionen (Peter Rachow 2011)

(C) Peter Rachow

Vorbemerkung: Bei dieser Aufgabe liegt das Hauptaugemerk auf der Fähigkeit, aus gegebenen realen Verhältnissen Funktionen aufzustellen und anzuwenden.

Aufgabe: Ein Skilift zieht Skisportler einen Hang hoch. Der Hang hat eine Grundlänge von 1500 Metern und überwindet dabei einen Höhenunterschied von 100 Metern. Der Hangverlauf ist nicht gerade sondern folgt einer Parabel und wird zum Ende hin immer steiler um dann nach exakt 100 Metern überwundener Höhe horizontal auszulaufen:

(C) Peter Rachow

a) Ermitteln Sie die Funktion h(x) nach der die Liftspur am Hang verläuft.

b) In welchem Winkel relativ zur Erdoberfläche zeigen die Ski am Ende des Liftes in den Himmel?

c) Stellen Sie eine Funktion auf, die die Normalkraft, die der Skifahrer erfährt, in Abhängigkeit von der Wegstrecke x aufzeigt.

d) Erweitern Sie diese Funktion, indem Sie die Reibungskraft ermitteln, die an einer beliebigen Stelle des Hanges auf den Skifahrer wirkt.



Lösungen

Aufgabenteil a)

Die Funktion des Bahnverlaufs hat die allgemeine Form:

(C) Peter Rachow

Wie groß ist nun c? Man berechnet dazu den Funktionswert für x=1500m, dieser muss dann 100m betragen:


(C) Peter Rachow

Dadurch errechnet sich die Funktion des Hangverlaufes zu:

(C) Peter Rachow
Aufgabenteil b)

Die Skier bilden während der Fahrt näherungsweise die Tangente an die Bahnkurve. Genauer gesagt wäre dies die  Sekante, aber in guter Näherung betrachten wir der Einfachheit halber die Tangente und vernachlässigen darüber hinaus das Durchbiegen der Skier. Diese Tangente entspricht der Steigung der Bahnkurve dy/dx mit dx -> 0. Dies entspricht der ersten Ableitung h'(x) der Bahnkurvenfunktion:

Aus (C) Peter Rachowfolgt (C) Peter Rachow

Am Punkt x = 1500 hat diese Funktion den Wert h'(x) = 0,132. Geht man davon aus, dass die Steigung der Funktion wie vorher dargetsellt sich errechnet zu dy/dx entspricht der errechnete Wert von 0,132 dem Tangens des Winkels zwischen der Horizontalen und der Erhebung der Tangente am Endpunkt der Bahn. Daraus folgt für den einschließenden Winkel:
(C) Peter Rachow

Der (Anstell)Winkel der Skier beträgt auf die Horizontale bezogen also 7,51°.

Aufgabenteil c)

Exkurs: Die zum Heraufziehen des Skiläufers notwendige Arbeit setzt sich im Wesentlichen aus 2 Komponenten zusammen:

I) Der Hubarbeit um den Läufer 100m anzuheben.
II) Der Reibungsarbeit der Skier auf dem Schnee

I) Die Hubarbeit errechnet sich aus der notwendigen Kraft multipliziert mit dem zurückgelegten Weg. Hier gilt:
(C) Peter Rachow

II) Die Reibungsarbeit ergibt sich aus der Gewichtskraft, dem Reibungskoeffizienten und dem zurückgelegten Weg:

(C) Peter Rachow

Für die Paarung "Ski auf Schnee" befindet sich der Gleitreibungskoeffezient uGl im Bereich zwischen 0,04 und 0,2. Wir definieren daher einen Wert unterhalb des Mittelwertes dieses Intervalls. Der Einfachheit halber bestimmen wir uGl = 0,1.

Die Reibungsarbeit ist dabei aber über die Weglänge nicht konstant sondern sie hängt von der Normalkraft ab, mit der der Skiläufer auf den Boden gepresst wird. Am Anfang der Strecke, bei ebenem Verlauf der Bahn, ist die Normalkraft (und damit die Reibungskraft) am Größten, am Ende des Hanges, bei maximierter Steigung, ist sie am kleinsten. Sie hängt also von der Steigung der Bahnkurve ab.

Die Funktion der Tangente zur Bahnkurve haben wir bereits vorher abgeleitet zu

(C) Peter Rachow

In den kleinen Intervallen der Bahnkurve können wir die jeweiligen Verhältnisse mit denen einer Schiefen Ebene gleichsetzen. Hier treten mehrere Kräfte auf:

(C) Peter Rachow

wobei FN die zu errechnende Normalkraft, FG die Gewichtskraft und FH die Hangabtriebskraft des Körpers sind. FH und FN stehen senkrecht aufeinander. Die Normalkraft FN eines Körpers auf einer Schiefen Ebene beträgt dann:

(C) Peter Rachow

Problem: Die Steigung der Tangente enthält den Tangens aber nicht den Cosinus, den wir hier benötigen. Wir wenden einen Rechenkniff an, indem wir wissen, das gilt:

tan=sin/cos und sin²+cos²=1. So können wir den Cosinus aus dem Tanges errechnen und der für die Normalkraft erforderliche Wert von cos((C) Peter Rachow) ergibt sich dann zu:

(C) Peter Rachow

Dann wird FN als Funktionsergebnis von x folgendermaßen aussehen:

(C) Peter Rachow
Aufgabenteil d)

Multipliziert werden muss dieser Wert nun noch mit dem Gleitreibungskoeffizienten uR wodurch wir die Reibungskraft erhalten, die an der jeweiligen Stelle des Skilifts aufgewendet werden muss, um den Skifahrer hochzuziehen.
(C) Peter Rachow
Somit kann man an jeder beliebigen Stelle der Bahn die wirkende Reibungskraft berechnen.


(C) 2011 Peter Rachow