Physikaufgabe zur Elektrizitätslehre


Unterthemen:  Elektrizitätslehre, Stromstärke, Spannung, Widerstand, Leistung, Kirchhoffgesetz (Reihenschaltung von Widerständen), Wärmekapazität.

von Peter Rachow 2012



Diesmal wieder eine Aufgabe aus der E-Lehre, die mittels der Differentialrechnung zu lösen ist.

Problemstellung:  Ein Festwiderstand (Rconst.=50(C) Peter Rachow) und ein variabler Widerstand (Rvar.=0...120(C) Peter Rachow) sind in Serie geschaltet. Sie werden an einer Energiequelle betrieben, deren Spannung U=12V beträgt. 

(C) Peter Rachow

Der Widerstand Rvar. wird nun schrittweise (z. B. in Schritten zu je 10(C) Peter Rachow) von 0(C) Peter Rachow auf 120(C) Peter Rachow erhöht.

a) Zeigen Sie mathematisch, dass die maximale elektrische Leistung am Widerstand Rvar. dann auftritt, wenn beide Widerstände gleich groß sind.

b) Welche Leistung nimmt Rvar. in diesem Punkt auf?

Zusatzaufgabe:

c) Der Widerstand Rvar. befindet sich in einem thermisch isolierten Gehäuse. Der Wärmestrom nach außen kann vernachlässigt werden. Das Innenvolumen des Gehäuses betrage 1,5 Liter, das Füllgas sei Luft. Wie lange dauert es, bis die Luft im Innenraum von 20°C auf 30°C erwärmt sein wird? Die Wärmekapazität des Gehäuses werde ebenfalls vernachlässigt.


Lösungsweg

Zuerst wird die elektrische Stromstärke I berechnet:

(C) Peter Rachow

Danach die Spannung, für die gilt U=R*I, am Widerstand Rvar. :

(C) Peter Rachow

Und schließlich die Leistung an RVar., die sich ergibt aus P=U*I:

(C) Peter Rachow

Diese Funktion mit EXCEL gezeichnet ergibt folgenden Graphen:

(C) Peter Rachow

Man erkennt, dass das Leistungsmaximum bei einem Wert von Rvar.=50 (C) Peter Rachow erreicht wird. Wie kann man dies nun mathematisch nachweisen?

Zuerst einmal benötigen wir die 1. Ableitung P'(Rvar.) der oben gezeigten Funktion, denn wir wollen den Punkt ermitteln, an dem die Funktion Rvar.->P die Steigung 0 aufweist also ihr Maximum erreicht hat. Wir werden dazu später P'(Rvar.) auf Null setzen, doch vorher müssen wir die Funktion P(Rvar.) ableiten:

Aus (C) Peter Rachowentstehen mit Hilfe der Quotientenregel (C) Peter Rachow

folgende Funktionen u' und v':

(C) Peter Rachow

und damit die erste Ableitung der gesamten Funktion:

(C) Peter Rachow

Nun setzen wir P'Rvar.=0 und nehmen zur Vereinfachung folgende Sachverhalte zu Hilfe:

a) "Ein Bruch wird dann NULL, wenn der Zähler NULL ist:". Dadurch entfällt der Nenner und wir erhalten:

(C) Peter Rachow

Dann klammern wir U² aus:

(C) Peter Rachow
Nun sagen wir b): "Ein Produkt wird dann NULL, wenn einer der Faktoron NULL ist." und entfernen U² aus der Gleichung, da wir nur die nicht-triviale Bedingung betrachten wollen, nämlich dann, wenn die rechte Klammer NULL wird.

(C) Peter Rachow

Somit erhalten wir eine vereinfachte Gleichung, die nur noch Widerstandswerte enthält. Jetzt wird der Term schrittweise vereinfacht:

(C) Peter Rachow

Man erkennt, dass man nun eine einfache Quadratische Gleichung erhalten hat, die sich mit der pq-Formel leicht lösen lässt, zumal der Faktor p=0 gesetzt ist:

(C) Peter Rachow

Damit ist auf dem Wege der Differentialrechnung gezeigt, dass in der Tat bei Rvar.=50(C) Peter Rachow das Leistungsmaximum am variablen Widerstand entsteht.

Die Berechnung der bei oben genannter Bedingung am Widerstand in Wärme umgewandelten elektrischen Leistung ist nun recht einfach. Die Spannung U halbiert sich, da beide Widerstände identische Werte haben. Für U=6V und R=50(C) Peter Rachow beträgt P:

(C) Peter Rachow



(C) 2012 Peter Rachow