Physikaufgabe zur Mechanik


Unterthemen:  Kräftezerlegung, Trigonometrie.

von Peter Rachow 2012

(C) Peter Rachow

Problemstellung:  Eisenbahn- und Autostrecken haben, besonders wenn sie für höhere Geschwindigkeiten ausgelegt sind, gelegentlich sogenannte "überhöhte Kurven". Mit deren Hilfe möchte man die bei hohen Kurvengeschwindigkeiten auftretenden Zentrifugalkräfte begrenzen und sie, zumindest teilweise, in Anpresskräfte umwandeln.

Skizze einer überhöhten Kurve (Profilquerschnitt) für eine eingleisige Bahnstrecke:
(C) Peter Rachow

Aufgabe:
Stellen Sie eine Funktion auf, mittels derer Sie die Anpresskraft, mit der eine 60 Tonnen schwere Lokomotive auf das Gleis gedrückt wird berechnen können, wenn deren Geschwindigkeit 120 km/h, der Kurvenradius 2 km und der Winkel (C) Peter Rachow als Funktionsparameter gelten soll.

Lösungsweg:

Die durch das Fahrzeug ausgeübte Zentrifugalkraft beträgt:
(C) Peter Rachow
Die Gewichtskraft des Fahrzeuges beträgt:

(C) Peter Rachow

Liegt das Gleis eben, also nicht überhöht, ist die Gewichtskraft die einzige Kraft, die senkrecht zur Erdoberfläche auf das Gleis wirkt. Die Zentrifugalkraft wirkt dann parallel zur Erdoberfläche und führt nicht zu einer erhöhten Anpresskraft der Lokomotive dem Gleis gegenüber, sehr wohl aber auftretende Reibungskraft auf die kurvenäußere Schiene. Dies ist übrigens der Grund, warum man diese kurvenäußere Schiene gelegentlich stärker ausführt als die kurveninnere.

Steht die Kurve schräg, setzt sich die Normalkraft FN, mit der das Fahrzeug in das Gleis gedrückt wird, aus zwei Komponenten zusammen, der Zentrifugalkraftkomponente FZ und die Gewichtskraftkomponente FG:

(C) Peter Rachow

Die gegen das Gleis wirkende Gewichtskraftkomponente der Lokomotive nimmt anteilig mit zunehmendem Winkel ab, d. h. wir multipizieren die Gewichtskraft der Lok mit dem Kosinus von (C) Peter Rachow. Es gilt FG=G*cos((C) Peter Rachow).

Die Wirkung der Zentrifugalkraft als Komponente der Anpresskraft (Normalkraft, FN) nimmt dagegen mit steigendem Wert von (C) Peter Rachow zu. Hier ist dann mit dem Sinus von (C) Peter Rachow zu multiplizieren. Beide Kraftkompontenten stehen senkrecht zueinander, daher lässt sich das Problem mit dem Satz des Pythagoras lösen. Dann ergibt sich insgesamt folgende Funktion:

(C) Peter Rachow
Als Graph aufgetragen erhalten wir folgende Werte:

(C) Peter Rachow


Hinweis: Problematisch wird die Überhöhung möglicherweise bei Stillstand des Fahrzeuges, da dieses dann umstürzen könnte. Daher wird bei deutschen Bahnstrecken ein maximaler Überhöhungswinkel von ca. 12% zugelassen.

(C) Peter Rachow 2012