Physikaufgabe zur Elektrostatik und Mechanik

von Peter Rachow 2012

(C) Peter Rachow

Problemstellung:  

Zwischen den kreisrunden Platten ist im homogenen E-Feld eines Kondensators an einem langen Faden eine kleine Kugel aufgehängt, deren Oberfläche aus Metall ist.

Skizze:



Der Faden wird nun so berührt, dass die Kugel die kurze Zeit (-)-aufgeladene Kondensatorplatte berührt und dann wieder frei beweglich an dem Faden hängt. Berechnen Sie die Frequenz f mit der die Kugel nun zwischen den beiden Platten oszilliert, wenn folgende Werte für den Aufbau gelten:

Plattenabstand d = 3 cm,
Kugelradius: r = 1 cm,
Masse der Kugel: m = 1g,
Spannung an den Kondensatorplatten: U = 1000 V.

Zuerst berechnen wir die Coulomb-Kraft, die aufgrund der elektrostatischen Gegebenheiten auf die Kugel wirkt. Wir hatten definiert, dass die Kugel die (-)-aufgeladene Platte berührt und dabei eine bestimmte Menge negative Ladungen aufnimmt. Die Menge dieser aufgenommen Ladung ist abhängig von der Fläche der Kugel und der Stärke des homogenen elektrischen Feldes zwischen den Platten.

Die Größen, die uns zur Berechnung der auf der Kugel befindlichen Ladungsmenge Q zur Verfügung stehen, sind demnach die Spannung U, der Plattenabstand d und die Kugelfläche.

Aus den ersten beiden Angaben (U und d) können wir die Feldstärke berechnen. Es gilt:


Die auf Kugel sich befindende Ladung leiten wir nun von der Flächenladungsdichte Sigma ab. Hier gilt



Die Oberfläche der Kugel ist:


Somit ergibt sich für die elektrische Ladung der Kugel:



Somit errechnen wir die Ladungsmenge auf der Kugel somit zu 3,71*10-10 C.

Für die auf die Kugel wirkende Kraft gilt folgende Formel:


Umgestellt nach F erhalten wir:



Somit ergibt sich die beschleunigende Kraft zu F=1,237*10-5N.

Aus dem Newtonschen Axiom F=m*a errechnen wir nun die Beschleunigung, die die Kugel im E-Feld erfährt:


Setzt man den vorher errecneten Wert für F und die Masse der Kugel (0,001kg) ein, so ergibt dies eine auf die Kugel wirkende Beschleunigung a von 0,01237 m/s².



(Hinweis: Für die Strecke s darf man hier nicht die Entfernung der Kondensatorplatten annehmen, sondern muss die freie Weglänge, auf der sich die Kugel bewegt zugrunde legen. Diese ist s=dPlatten-rKugel . In unserem Falle also 0,02m.

In der Folge ergibt sich für die Zeit, die die Kugel von einer Platte zur anderen benötigt: t=1,799 s.

Die Zeit eines kompletten Weges hin und zurück der Kugel, also die Schwingungsdauer T, beträgt dann 3,598 s.

Für den Zusammenhang von Frequenz f und Schwingungsdauer T gilt:


Daraus folgt: f=0,278 Hz.



(C) Peter Rachow 2012